Остаточный член формулы тейлора

Остаточный член формулы тейлора на сайте i-sup.ru



Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Лагранжа, Коши или Пеано. Остановимся на каждом из представлений немного подробнее.

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа выглядит следующим образом: где есть некоторая (зависящая от ) точка интервала Здесь и далее х можно считать не только большим, но и меньшим, чем .

Если остаток в формуле Тейлора , то формулу Тейлора для многочлена можно записать так: . Важна форма записи остаточного члена: . — определяет погрешность формулы.

Запишем остаточный член в форме Лагранжа по-другому. Пусть точка , где 0 < q < 1, тогда получим. . Остаточный член также можно получить в форме Коши. , и в форме Пеано. . Частный случай формулы Тейлора при а=0 называется формулой. Маклорена для функции

5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа. Билет 24 Формула Тейлора. 39. Формула Тейлора. 4.2. Оценка погрешности формулы Лагранжа. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.

Формула (3) называется. формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Положение точки ξ между точками x и x0 зависит от x. Конкретное значение ξ не играет никакой роли в применениях формулы Тейлора.

Общий вид формулы Тейлора: , где - многочлен Тейлора. Для того, чтобы написать многочлен Тейлора степени n, необходимо наличие n производных в точке . - остаточный член Тейлора.

(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.) Доказательство.

Применение формулы Тейлора разумно в том случае, когда остаточный член является малой величиной и стремится к 0 при . Для непосредственного применения формулы Тейлора необходимо вычислить производные функции в точке .

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Пусть , непрерывна на отрезке , на интервале . Тогда справедлива формула (1), в которой. где . Доказательство: будем проводить по индукции, считая .

Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора. Определение 3. Пусть действительная функция f определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке производные всех порядков.

Остаточный член формулы Тейлора в такой записи называется остаточным членом в форме Пеано. Таким образом, остаточный член формулы Тейлора функции ( 1 - - х) т при - 1 лг; 1 стремится к нулю при и - - оо.

Остаточный член в форме Лагранжа напоминает следующий, очередной член формулы Тейлора, лишь только производная функции вычисляется не в точке а, а в некоторой промежуточной между а и х точке.
Кадр : § 8. различные формы остаточного члена. формула маклорена